Најважније из лекције
Звук је механички лонгитудинални талас у опсегу од \(20\text{ Hz}\) до \(20\,000\text{ Hz}\). Испод \(20\text{ Hz}\) је инфразвук, а изнад \(20\text{ kHz}\) ултразвук.
Затегнута жица (оба краја учвршћена): \(\nu_n = n\frac{u}{2L}\), основни тон \(\nu_1 = \frac{u}{2L}\).
Ваздушни стуб (затворен на једном крају): \(\nu_n = (2n-1)\frac{u}{4L}\), основни тон \(\nu_1 = \frac{u}{4L}\).
Брзина звука у идеалном гасу: \(u = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}\), зависи директно од температуре средине (\(u \sim \sqrt{T}\)).
Затегнута жица (оба краја учвршћена): \(\nu_n = n\frac{u}{2L}\), основни тон \(\nu_1 = \frac{u}{2L}\).
Ваздушни стуб (затворен на једном крају): \(\nu_n = (2n-1)\frac{u}{4L}\), основни тон \(\nu_1 = \frac{u}{4L}\).
Брзина звука у идеалном гасу: \(u = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}\), зависи директно од температуре средине (\(u \sim \sqrt{T}\)).
Звук је лонгитудинални механички талас који се простире кроз еластичну средину и чија се фреквенција налази у области чујности људског уха.
Акустика је део физике који проучава настанак, простирање и детекцију звука.
| Врста таласа | Фреквентни опсег | Опис |
|---|---|---|
| Инфразвук | \(\nu < 20\text{ Hz}\) | Механички таласи испод границе људске чујности. |
| Чујни звук | \(20\text{ Hz} \le \nu \le 20\,000\text{ Hz}\) | Област чујности коју региструје здраво људско ухо. |
| Ултразвук | \(\nu > 20\,000\text{ Hz}\) | Механички таласи изнад границе људске чујности. |
Извор звука је свако тело које осцилује фреквенцијом у интервалу од \(20\text{ Hz}\) до \(20\,000\text{ Hz}\) (затегнута жица, ваздушни стуб, мембрана, звучна виљушка, гласне жице).
Приликом осциловања затегнуте жице учвршћене на оба краја, на крајевима се увек образују чворови, а дуж жице стојећи таласи.
\[ \nu_n = n \frac{u}{2L}, \quad n = 1, 2, 3, \dots \]
где је \(L\) дужина жице, \(u\) брзина трансверзалног таласа дуж жице, а \(n\) редни број хармоника.
Основни тон (први хармоник, \(n=1\)): Најнижа фреквенција којом жица може да осцилује:
\[ \nu_1 = \frac{u}{2L} \quad (\lambda_1 = 2L) \]
Виши хармоници (\(n > 1\)): Трајни тонови виших фреквенција (\(\nu_2 = 2\nu_1, \nu_3 = 3\nu_1, \dots\)) који дају боју звуку жичаних инструмената. Скраћивањем дужине жице повећава се њена основна фреквенција.
У дувачким инструментима звук настаје осциловањем стуба ваздуха у цеви.
\[ \nu_n = (2n - 1) \frac{u}{4L}, \quad n = 1, 2, 3, \dots \]
Фреквенција осциловања ваздушног стуба у цеви дужине \(L\) затвореној на једном крају (формирају се само непарни хармоници).
- Цев затворена на једном крају: На затвореном крају је чвор, на отвореном крају трбух. За основни хармоник важи \(\lambda_1 = 4L\), \(\nu_1 = \frac{u}{4L}\).
- Цев отворена на оба краја: На оба краја су трбуси, а у средини чвор. За основни хармоник важи \(\lambda_1 = 2L\), \(\nu_1 = \frac{u}{2L}\).
Резонаторска кутија: Шупље тело одређеног облика и димензија које стварањем стојећих таласа појачава звук извора (звучне виљушке, гитаре, виолине).
Кунтова цев служи за визуелизацију стојећих звучних таласа у ваздушном стубу. Помоћу ситног праха (нпр. плуте) у стакленој цеви уочавају се положаји чворова (где прах мирује) и трбуха (где се прах узбуркава), чиме се директно одређује таласна дужина звука.
Брзина простирања лонгитудиналних звучних таласа у гасу зависи од притиска \(p\), густине \(\rho\) и температуре \(T\) гаса.
\[ u = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}} = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} \]
где је:
- \(\gamma = \frac{C_p}{C_v}\) - Поасонов коефицијент (адијабатски индекс),
- \(p\) - притисак гаса \([\text{Pa}]\),
- \(\rho\) - густина гаса \([\text{kg/m}^3]\),
- \(R = 8{,}314\text{ J/(mol}\cdot\text{K)}\) - универзална гасна константа,
- \(T\) - апсолутна температура гаса \([\text{K}]\),
- \(M\) - моларна маса гаса \([\text{kg/mol}]\).
Брзина звука у гасу директно је сразмерна квадратном корену апсолутне температуре (\(u \sim \sqrt{T}\)). Са порастом температуре ваздуха, брзина звука се повећава.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Затегнута жица гитаре има дужину \(L = 0{,}65\text{ m}\). Ако се трансверзални талас дуж ње простире брзином \(u = 520\text{ m/s}\), израчунати основну фреквенцију (први хармоник) коју емитује ова жица.
Основна фреквенција жице (\(n=1\)) дата је формулом:
\[ \nu_1 = \frac{u}{2L} \]
Заменом бројних вредности:
\[ \nu_1 = \frac{520\text{ m/s}}{2 \cdot 0{,}65\text{ m}} = \frac{520}{1{,}3}\text{ Hz} = 400\text{ Hz} \]
Одговор: Основна фреквенција жице износи \(400\text{ Hz}\).
Задатак 2 (средњи): Ваздушни стуб у цеви која је затворена на једном крају има дужину \(L = 0{,}85\text{ m}\). Брзина звука у ваздуху је \(u = 340\text{ m/s}\). Одредити фреквенцију основног тона (\(n=1\)) и првог вишег хармоника (\(n=2\)).
Фреквенција за цев затворену на једном крају рачуна се по формули:
\[ \nu_n = (2n - 1)\frac{u}{4L} \]
1) За основни тон (\(n = 1\)):
\[ \nu_1 = \frac{u}{4L} = \frac{340\text{ m/s}}{4 \cdot 0{,}85\text{ m}} = \frac{340}{3{,}4}\text{ Hz} = 100\text{ Hz} \]
2) За први виши хармоник (\(n = 2\)):
\[ \nu_2 = (2 \cdot 2 - 1)\frac{u}{4L} = 3 \cdot \nu_1 = 3 \cdot 100\text{ Hz} = 300\text{ Hz} \]
Одговор: Основни тон има фреквенцију \(100\text{ Hz}\), а први следећи хармоник \(300\text{ Hz}\).
Задатак 3 (средњи/тежак): Колико пута ће се повећати брзина простирања звука у идеалном гасу ако се његова апсолутна температура повећа са \(T_1 = 250\text{ K}\) на \(T_2 = 1000\text{ K}\)?
Брзина звука зависи од температуре према формули \(u = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}\).
Однос брзина на температурама \(T_2\) и \(T_1\) је: \[ \frac{u_2}{u_1} = \frac{\sqrt{\frac{\gamma R T_2}{M}}}{\sqrt{\frac{\gamma R T_1}{M}}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \] Заменом вредности: \[ \frac{u_2}{u_1} = \sqrt{\frac{1000\text{ K}}{250\text{ K}}} = \sqrt{4} = 2 \] Одговор: Брзина звука ће се повећати \(2\) пута.
Однос брзина на температурама \(T_2\) и \(T_1\) је: \[ \frac{u_2}{u_1} = \frac{\sqrt{\frac{\gamma R T_2}{M}}}{\sqrt{\frac{\gamma R T_1}{M}}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \] Заменом вредности: \[ \frac{u_2}{u_1} = \sqrt{\frac{1000\text{ K}}{250\text{ K}}} = \sqrt{4} = 2 \] Одговор: Брзина звука ће се повећати \(2\) пута.
Задатак 4 (тежак): Израчунати брзину звука у азоту (\(\text{N}_2\)) на температури \(t = 27\,^\circ\text{C}\). Моларна маса азота је \(M = 28 \cdot 10^{-3}\text{ kg/mol}\), а Поасонов коефицијент је \(\gamma = 1{,}4\). Универзална гасна константа износи \(R = 8{,}314\text{ J/(mol}\cdot\text{K)}\).
Претварамо температуру у келвине:
\[ T = 27 + 273{,}15 \approx 300\text{ K} \]
Примењујемо формулу за брзину звука у гасу:
\[ u = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} \]
\[ u = \sqrt{\frac{1{,}4 \cdot 8{,}314\text{ J/(mol}\cdot\text{K)} \cdot 300\text{ K}}{28 \cdot 10^{-3}\text{ kg/mol}}} = \sqrt{\frac{3491{,}88}{0{,}028}} = \sqrt{124\,710} \approx 353{,}14\text{ m/s} \]
Одговор: Брзина звука у азоту на датој температури износи приближно \(353{,}1\text{ m/s}\).
