Најважније из лекције
Основни закључци:
- Гаусова једначина танког сочива: \(\frac{1}{p} + \frac{1}{l} = \frac{1}{f}\) (сабирно: \(f > 0\); расипно: \(f < 0\); реалан лик: \(l > 0\); имагинаран лик: \(l < 0\)).
- Линеарно увећање: \(U = \frac{L}{P} = \frac{l}{p}\).
- Оптичка моћ (јачина) сочива: \(D = \frac{1}{f}\) изражава се у диоптријама (\(\text{dpt} = \text{m}^{-1}\)).
- Оптичарска једначина: \(\frac{1}{f} = (n_r - 1)\left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right)\).
- Прислоњена сочива (\(d = 0\)): \(D = D_1 + D_2\).
- Аберације: одступања реалног лика од идеалног - хроматска (последица дисперзије) и геометријске (сферна аберација, кома, астигматизам, кривина поља, дисторзија).
Оптичко сочиво је хомогена прозирна средина ограничена са две сферне или једном сферном и једном равном површи које имају заједничку оптичку осу.
Подела према дебљини:
- Танко сочиво: сочиво чија је дебљина занемарљиво мала у поређењу са радијусима кривина његових сферних површи.
- Дебело сочиво: сочиво чија је дебљина већа од радијуса кривина његових површи.
Подела према геометријском облику и дејству на сноп светлости:
- Сабирна (конвергентна) сочива: дебља су на средини него на крајевима; паралелни светлосни сноп преламају ка оптичкој оси формирајући реалан лик.
- Расипна (дивергентна) сочива: тања су на средини, а дебља на крајевима; паралелни светлосни сноп преламају од оптичке осе, а продужеци зрака формирају имагинаран лик.
Преламање светлости кроз сочиво одвија се по Закону преламања на обе граничне површи и има карактеристике преламања кроз призму (зрак скреће ка дебљем делу сочива).
- Оптички центар (\(O\)): тачка у средишту сочива кроз коју зраци пролазе без скретања.
- Главна оптичка оса: права која пролази кроз центре кривина сферних површи и оптички центар сочива.
- Жижа предмета (\(F\)) и жижа лика (\(F'\)): карактеристичне тачке на оптичкој оси. За танко сочиво њихова растојања од центра сочива (жижне даљине) су једнака: \(f = f'\).
За геометријску конструкцију лика користе се три карактеристична зрака:
- Зрак паралелан главној оптичкој оси: након преламања пролази кроз жижу лика \(F'\) (код сабирног сочива), односно његов продужетак пролази кроз жижу \(F\) (код расипног сочива).
- Зрак који пролази кроз оптички центар (\(O\)): пролази кроз сочиво без промене правца.
- Зрак који пролази кроз жижу предмета (\(F\)): након преламања простире се паралелно главној оптичкој оси.
Особине ликова:
- Код расипног сочива лик је увек имагинаран, умањен и усправан.
- Код сабирног сочива природа лика зависи од удаљености предмета \(p\):
- \(p > 2f\): лик је реалан, умањен и изврнут;
- \(p = 2f\): лик је реалан, једнаке величине и изврнут;
- \(f < p < 2f\): лик је реалан, увећан и изврнут;
- \(p < f\): лик је имагинаран, увећан и усправан (принцип лупе).
\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{l} = \frac{1}{f} \]
\(p\) – удаљеност предмета од сочива
\(l\) – удаљеност лика од сочива
\(f\) – жижна даљина сочива
\(l\) – удаљеност лика од сочива
\(f\) – жижна даљина сочива
Правило предзнака:
- За сабирно сочиво: \(f > 0\).
- За расипно сочиво: \(f < 0\).
- За реалан лик: \(l > 0\) (налази се са супротне стране од предмета).
- За имагинаран лик: \(l < 0\) (налази се са исте стране као и предмет).
\[ U = \frac{L}{P} = \frac{l}{p} \]
\(U\) – попречно линеарно увећање
\(L\) – величина (висина) лика
\(P\) – величина (висина) предмета
\(L\) – величина (висина) лика
\(P\) – величина (висина) предмета
Жижна даљина сочива зависи од релативног индекса преламања материјала сочива према околној средини (\(n_r\)) и радијуса кривина граничних површи (\(r_1, r_2\)).
\[ \frac{1}{f} = (n_r - 1) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right) \]
Оптичарска једначина танког сочива
Оптичка моћ (јачина) сочива (\(D\)): физичка величина једнака реципрочној вредности жижне даљине сочива изражене у метрима.
\[ D = \frac{1}{f} \]
диоптрија (\(\text{dpt} = \text{m}^{-1}\))
- Сабирна сочива: \(D > 0\) (позитивна диоптрија, користе се за корекцију далековидности).
- Расипна сочива: \(D < 0\) (негативна диоптрија, користе се за корекцију кратковидости).
Систем сочива чине два или више танких сочива постављених на заједничку оптичку осу, што се примењује за постизање већих увећања или отклањање недостатака појединачних сочива (нпр. у микроскопима и телескопима).
За два танка сочива жижних даљина \(f_1\) и \(f_2\) на међусобном растојању \(d\):
\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2} \quad \Longleftrightarrow \quad D = D_1 + D_2 - d D_1 D_2 \]
За сочива која се додирују (\(d = 0\)), укупна оптичка моћ система једнака је алгебарском збиру оптичких моћи појединачних сочива:
\[ D = D_1 + D_2 \quad \text{односно} \quad \frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} \]
Аберације су деформације и изобличења ликова која настају због физичких својстава дисперзије светлости или одступања зрака од параксијалних услова (не представљају последицу техничких грешака у производњи).
Врсте аберација:
- Хроматска аберација (физичка): настаје услед дисперзије светлости, јер различите таласне дужине (боје) светлости имају различите индексе преламања, па се секу у различитим жижама.
- Геометријске аберације:
- Сферна аберација: зраци који пролазе кроз рубне делове сочива преламају се јаче од зрака близу оптичке осе.
- Кома: асиметрично изобличење тачкастих извора светлости који се налазе ван главне оптичке осе.
- Астигматизам: немогућност сочива да истовремено оштро фокусира хоризонталне и вертикалне линије.
- Кривина поља: лик равног предмета постаје закривљена површина.
- Дисторзија: геометријско изобличење облика лика (бачвасто или јастучасто).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Жижна даљина сабирног сочива износи \(f = 25\text{ cm}\). Колика је оптичка моћ тог сочива у диоптријама?
Прво претварамо жижну даљину у метре:
\[ f = 25\text{ cm} = 0{,}25\text{ m} \]
Оптичку моћ рачунамо по формули:
\[ D = \frac{1}{f} = \frac{1}{0{,}25\text{ m}} = +4\text{ dpt} \]
Одговор: Оптичка моћ сочива износи \(+4\text{ dpt}\).
Задатак 2 (средњи): Предмет висине \(P = 3\text{ cm}\) постављен је на растојању \(p = 30\text{ cm}\) испред сабирног сочива жижне даљине \(f = 20\text{ cm}\). Одредити положај лика и његову висину.
1. Примењујемо Гаусову једначину сочива:
\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{l} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{l} = \frac{1}{f} - \frac{1}{p} \]
\[ \frac{1}{l} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 2}{60} = \frac{1}{60\text{ cm}} \implies l = 60\text{ cm} \]
Пошто је \(l > 0\), лик је реалан и налази се на растојању од \(60\text{ cm}\) са друге стране сочива.
2. Рачунамо увећање и висину лика: \[ U = \frac{l}{p} = \frac{60}{30} = 2 \] \[ L = U \cdot P = 2 \cdot 3\text{ cm} = 6\text{ cm} \] Одговор: Лик се формира на растојању од \(60\text{ cm}\) од сочива, реалан је, изврнут и висине \(6\text{ cm}\).
2. Рачунамо увећање и висину лика: \[ U = \frac{l}{p} = \frac{60}{30} = 2 \] \[ L = U \cdot P = 2 \cdot 3\text{ cm} = 6\text{ cm} \] Одговор: Лик се формира на растојању од \(60\text{ cm}\) од сочива, реалан је, изврнут и висине \(6\text{ cm}\).
Задатак 3 (средњи/тежак): Предмет се налази на растојању \(p = 20\text{ cm}\) испред расипног сочива оптичке моћи \(D = -10\text{ dpt}\). Где се налази лик предмета и колико износи линеарно увећање?
1. Одређујемо жижну даљину:
\[ f = \frac{1}{D} = \frac{1}{-10\text{ dpt}} = -0{,}1\text{ m} = -10\text{ cm} \]
2. Из Гаусове једначине налазимо положај лика:
\[ \frac{1}{l} = \frac{1}{f} - \frac{1}{p} = \frac{1}{-10} - \frac{1}{20} = -\frac{1}{10} - \frac{1}{20} = -\frac{3}{20\text{ cm}} \]
\[ l = -\frac{20}{3}\text{ cm} \approx -6{,}67\text{ cm} \]
Знак минус означава да је лик имагинаран (налази се испред сочива, са исте стране где је и предмет).
3. Линеарно увећање: \[ U = \frac{|l|}{p} = \frac{\frac{20}{3}}{20} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 \] Одговор: Лик је имагинаран, усправан, умањен (\(U = 1/3\)) и налази се на \(6{,}67\text{ cm}\) испред сочива.
3. Линеарно увећање: \[ U = \frac{|l|}{p} = \frac{\frac{20}{3}}{20} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 \] Одговор: Лик је имагинаран, усправан, умањен (\(U = 1/3\)) и налази се на \(6{,}67\text{ cm}\) испред сочива.
Задатак 4 (тежак): Систем чине два танка сочива која се додирују: сабирно сочиво оптичке моћи \(D_1 = +5\text{ dpt}\) и расипно сочиво оптичке моћи \(D_2 = -3\text{ dpt}\). На ком растојању испред овог система треба поставити предмет да би се на заклону добио реалан лик двоструко већи од предмета?
1. Укупна оптичка моћ и еквивалентна жижна даљина система у додиру:
\[ D = D_1 + D_2 = +5\text{ dpt} - 3\text{ dpt} = +2\text{ dpt} \]
\[ f = \frac{1}{D} = \frac{1}{2\text{ m}^{-1}} = 0{,}5\text{ m} = 50\text{ cm} \]
2. Пошто је лик реалан и добија се на заклону, увећање је:
\[ U = \frac{l}{p} = 2 \implies l = 2p \]
3. Заменом у једначину танког сочива:
\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{2p} = \frac{1}{f} \implies \frac{3}{2p} = \frac{1}{50} \]
\[ 2p = 150 \implies p = 75\text{ cm} \]
Одговор: Предмет треба поставити на растојању од \(75\text{ cm}\) испред система сочива.
