Најважније из лекције
| Врста отпорности | Ознака и формула | Фазна разлика између струје и напона | Омов закон (\(I_0\)) |
|---|---|---|---|
| Термогена (отпорник) | \(R\) | Струја и напон су у фази (\(\varphi = 0\)) | \(I_0 = \frac{U_{0R}}{R}\) |
| Индуктивна (калем) | \(X_L = \omega L = 2\pi\nu L\) | Струја касни за напоном за \(\frac{\pi}{2}\) | \(I_0 = \frac{U_{0L}}{X_L}\) |
| Капацитивна (кондензатор) | \(X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi\nu C}\) | Струја предњачи испред напона за \(\frac{\pi}{2}\) | \(I_0 = \frac{U_{0C}}{X_C}\) |
Наизменична струја је струја чије се физичке величине (електромоторна сила \(\varepsilon\), напон \(u\) и јачина струје \(i\)) временски периодично мењају по синусном закону.
Тренутне вредности означавају се малим словима (\(u, i, \varepsilon\)), док се константне максималне вредности (амплитуде) означавају великим словима са индексом (\(U_0, I_0, \varepsilon_0\)).
Период (\(T\)) је време за које се изврши једна пуна промена, а повезан је са фреквенцијом (\(\nu\)) и кружном фреквенцијом (\(\omega\)) преко израза \(\omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}\).
У колима наизменичне струје разликују се три врсте електричних отпорности:
- Термогена (активна) отпорност (\(R\)) – на отпорницима
- Индуктивна отпорност (\(X_L\)) – на калемовима (завојницама)
- Капацитивна отпорност (\(X_C\)) – на кондензаторима
Термогена отпорност је отпорност при којој се електрична енергија неповратно претвара у топлотну енергију (карактеристика отпорника).
Ом (\(\Omega\))
Када у струјном колу постоји само термогена отпорност, напон и струја су у фази (истовремено достижу нулте, минималне и максималне вредности, тј. фазна разлика је \(\varphi = 0\)).
\[ u_R = U_{0R} \sin \omega t \]
\[ i = I_0 \sin \omega t \]
\[ I_0 = \frac{U_{0R}}{R} \]
Омов закон за максималне вредности струје и напона на термогеном отпорнику.
Ако је отпорник отпорности \(R = 50\text{ }\Omega\) прикључен на наизменични напон амплитуде \(U_{0R} = 100\text{ V}\), максимална јачина струје кроз отпорник износи:
\[ I_0 = \frac{U_{0R}}{R} = \frac{100\text{ V}}{50\text{ }\Omega} = 2\text{ A} \]
Индуктивна отпорност је отпор протицању наизменичне струје кроз калем који настаје услед појаве самоиндукције. Индукована електромоторна сила опире се промени струје у колу.
Ом (\(\Omega\)): \([X_L] = [\omega][L] = \frac{1}{\text{s}} \cdot \text{H} = \frac{1}{\text{s}} \cdot \frac{\text{V}\cdot\text{s}}{\text{A}} = \frac{\text{V}}{\text{A}} = \Omega\)
Струја која протиче кроз идеалан калем (без термогене отпорности) фазно касни за напоном за \(\frac{\pi}{2}\) (четвртину периода).
\[ X_L = \omega L = 2\pi\nu L \]
\[ u_L = U_{0L} \sin \omega t \]
\[ i = I_0 \sin\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) \]
\[ I_0 = \frac{U_{0L}}{X_L} = \frac{U_{0L}}{\omega L} \]
\(L\) – коефицијент самоиндукције (индуктивност) калема у хенријима (\(\text{H}\)), \(\nu\) – фреквенција струје у херцима (\(\text{Hz}\)).
Индуктивна отпорност је директно сразмерна индуктивности калема и фреквенцији наизменичне струје. Са порастом фреквенције, индуктивна отпорност расте.
Капацитивна отпорност је отпорност коју кондензатор пружа наизменичној струји услед процеса наизменичног пуњења и пражњења његових облога.
Ом (\(\Omega\)): \([X_C] = \frac{1}{[\omega][C]} = \frac{1}{\frac{1}{\text{s}} \cdot \text{F}} = \frac{\text{s}}{\frac{\text{A}\cdot\text{s}}{\text{V}}} = \frac{\text{V}}{\text{A}} = \Omega\)
На кондензатору струја фазно предњачи у односу на напон за \(\frac{\pi}{2}\) (напон фазно касни за струјом за \(\frac{\pi}{2}\)).
\[ X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi\nu C} \]
\[ u_C = U_{0C} \sin \omega t \]
\[ i = I_0 \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) \]
\[ I_0 = \frac{U_{0C}}{X_C} = U_{0C}\omega C \]
\(C\) – електрична капацитивност кондензатора у фарадима (\(\text{F}\)).
Капацитивна отпорност је обрнуто сразмерна капацитивности кондензатора и фреквенцији струје. Са порастом фреквенције, капацитивна отпорност опада. Кондензатор не пропушта једносмерну струју (\(\nu = 0 \implies X_C \to \infty\)).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунати индуктивну отпорност калема индуктивности \(L = 0{,}2\text{ H}\) у колу наизменичне струје фреквенције \(\nu = 50\text{ Hz}\). (Узети \(\pi \approx 3{,}14\))
Примењујемо формулу за индуктивну отпорност:
\[ X_L = 2\pi\nu L \]
\[ X_L = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 50\text{ Hz} \cdot 0{,}2\text{ H} \]
\[ X_L = 314 \cdot 0{,}2 = 62{,}8\text{ }\Omega \]
Одговор: Индуктивна отпорност калема износи \(62{,}8\text{ }\Omega\).
Задатак 2 (средњи): Кондензатор капацитивности \(C = 10\text{ }\mu\text{F}\) прикључен је на извор наизменичног напона максималне вредности \(U_{0C} = 200\text{ V}\) и фреквенције \(\nu = 50\text{ Hz}\). Одредити капацитивну отпорност кондензатора и максималну јачину струје у колу.
Прво претварамо капацитивност у основну јединицу: \(C = 10\text{ }\mu\text{F} = 10 \cdot 10^{-6}\text{ F} = 10^{-5}\text{ F}\).
1. Капацитивна отпорност: \[ X_C = \frac{1}{2\pi\nu C} = \frac{1}{2 \cdot 3{,}14 \cdot 50 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{314 \cdot 10^{-5}} = \frac{100000}{314} \approx 318{,}47\text{ }\Omega \] 2. Максимална јачина струје преко Омовог закона: \[ I_0 = \frac{U_{0C}}{X_C} = \frac{200\text{ V}}{318{,}47\text{ }\Omega} \approx 0{,}63\text{ A} \] Одговор: Капацитивна отпорност је приближно \(318{,}5\text{ }\Omega\), а максимална струја је \(0{,}63\text{ A}\).
1. Капацитивна отпорност: \[ X_C = \frac{1}{2\pi\nu C} = \frac{1}{2 \cdot 3{,}14 \cdot 50 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{314 \cdot 10^{-5}} = \frac{100000}{314} \approx 318{,}47\text{ }\Omega \] 2. Максимална јачина струје преко Омовог закона: \[ I_0 = \frac{U_{0C}}{X_C} = \frac{200\text{ V}}{318{,}47\text{ }\Omega} \approx 0{,}63\text{ A} \] Одговор: Капацитивна отпорност је приближно \(318{,}5\text{ }\Omega\), а максимална струја је \(0{,}63\text{ A}\).
Задатак 3 (тежи): Калем индуктивности \(L\) и кондензатор капацитивности \(C\) налазе се у одвојеним колима наизменичне струје исте почетне фреквенције \(\nu_1 = 50\text{ Hz}\).
- Како ће се променити отпорности \(X_L\) и \(X_C\) ако се фреквенција извора повећа на \(\nu_2 = 200\text{ Hz}\)?
- Колика је фазна разлика између напона и струје на калему, а колика на кондензатору?
а) Промена отпорности:
Фреквенција је повећана \(\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{200}{50} = 4\) пута.
Фреквенција је повећана \(\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{200}{50} = 4\) пута.
- Пошто је \(X_L = 2\pi\nu L\), индуктивна отпорност је директно сразмерна фреквенцији, па ће се повећати 4 пута (\(X_{L2} = 4X_{L1}\)).
- Пошто је \(X_C = \frac{1}{2\pi\nu C}\), капацитивна отпорност је обрнуто сразмерна фреквенцији, па ће се смањити 4 пута (\(X_{C2} = \frac{1}{4}X_{C1}\)).
- На калему струја фазно касни за напоном за \(\frac{\pi}{2}\) (\(90^\circ\)).
- На кондензатору струја фазно предњачи у односу на напон за \(\frac{\pi}{2}\) (\(90^\circ\)).
