Најважније из лекције
Фермаов принцип: Светлост путује путем који захтева најмање времена (најкраћи оптички пут \(\Delta = n \cdot d\)).
Одбијање (рефлексија): Одбојни угао једнак је упадном углу (\(\alpha' = \alpha\)).
Преламање (рефракција): Снелијусов закон \(\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{n_2}{n_1}\). Преласком у гушћу средину зрак скреће ка нормали, а у ређу од нормале.
Тотална рефлексија: Настаје само при прелазу из оптички гушће у ређу средину за упадне углове веће од граничног (\(\alpha > \alpha_{gr}\)), где је \(\sin \alpha_{gr} = \frac{n_2}{n_1}\).
Брзина светлости: \(c \approx 3 \cdot 10^8\text{ m/s}\), а у средини са индексом \(n\) износи \(u = \frac{c}{n}\).
Одбијање (рефлексија): Одбојни угао једнак је упадном углу (\(\alpha' = \alpha\)).
Преламање (рефракција): Снелијусов закон \(\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{n_2}{n_1}\). Преласком у гушћу средину зрак скреће ка нормали, а у ређу од нормале.
Тотална рефлексија: Настаје само при прелазу из оптички гушће у ређу средину за упадне углове веће од граничног (\(\alpha > \alpha_{gr}\)), где је \(\sin \alpha_{gr} = \frac{n_2}{n_1}\).
Брзина светлости: \(c \approx 3 \cdot 10^8\text{ m/s}\), а у средини са индексом \(n\) износи \(u = \frac{c}{n}\).
Брзина светлости у вакууму (\(c\)) је једна од основних физичких константи и износи приближно \(c \approx 300\,000\text{ km/s} = 3 \cdot 10^8\text{ m/s}\) (тачна вредност: \(299\,792\,458\text{ m/s}\)).
Мајкелсонов експеримент: Брзина светлости прецизно је измерена помоћу ротирајућег полигоналног огледала (са 8, 6, 12 или 16 страна). Светлост се одбија од једне стране обртног огледала ка удаљеном непокретном огледалу и враћа назад. Посматрач види светлост кроз телескоп само када за време путовања светлости обртно огледало направи тачно одговарајући део пуног обртаја (нпр. једну осмину код осмостраног).
У Мајкелсоновом експерименту између планина Вилсон и Сан Антонио растојање је било \(d = 35{,}5\text{ km}\). За време док светлост пређе пут \(2d = 71\text{ km}\), осмострано огледало се окрене за \(\frac{1}{8}\) обртаја, што омогућава веома тачно одређивање брзине светлости: \(u = \frac{2d}{t}\).
Светлосни зрак је замишљена линија дуж које се простире светлосна енергија. Закони геометријске оптике важе када су димензије препрека и отвора знатно веће од таласне дужине светлости.
Реалан (стваран) лик настаје у пресеку самих светлосних зрака и може се регистровати (добити) на заклону.
Имагинаран (нестваран/виртуелан) лик настаје у пресеку продужетака дивергентних светлосних зрака и не може се добити на заклону.
Фермаов принцип: Светлост се између две тачке увек простире оним путем за који јој је потребно најмање времена (по најкраћем оптичком путу).
\[ \Delta = n \cdot d \]
\(\Delta\) – оптички пут, \(n\) – апсолутни индекс преламања средине, \(d\) – геометријско растојање
Пошто је за све материјалне средине индекс преламања \(n > 1\), оптички пут \(\Delta\) је увек већи од геометријског пута \(d\), осим у вакууму где је \(n = 1\), па је \(\Delta = d\).
1. Закон праволинијског простирања светлости: У вакууму и оптички хомогеним срединама светлост се простире праволинијски.
2. Закон независности светлосних зрака: Светлосни снопови и зраци који се секу у простору не утичу једни на друге и настављају простирање независно.
3. Закон одбијања (рефлексије) светлости: Одбојни угао једнак је упадном углу. Упадни зрак, нормала на површину у тачки упада и одбијени зрак леже у истој равни.
4. Закон преламања (рефракције) светлости: Однос синуса упадног и синуса преломног угла једнак је релативном индексу преламања две средине. Упадни зрак, нормала и преломни зрак леже у истој равни.
При одбијању светлости од глатке граничне површине угао упада једнак је углу одбијања.
\[ \alpha' = \alpha \]
\(\alpha\) – упадни угао (угао између упадног зрака и нормале), \(\alpha'\) – одбојни угао (угао између одбијеног зрака и нормале)
Упадни зрак, одбијени зрак и нормала на рефлектујућу површину у тачки упада налазе се увек у истој равни (упадној равни).
Светлосни зрак пада на равно огледало под углом од \(40^\circ\) у односу на нормалу. Колики је угао између упадног и одбијеног зрака?
Према закону одбијања, одбојни угао је \(\alpha' = \alpha = 40^\circ\).
Угао између упадног и одбијеног зрака је \(\alpha + \alpha' = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ\).
Угао између упадног и одбијеног зрака је \(\alpha + \alpha' = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ\).
Када светлосни зрак прелази из једне оптичке средине у другу различите оптичке густине, мења правац простирања – прелама се.
\[ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{u_1}{u_2} = \frac{n_2}{n_1} = n_{12} \]
\(\alpha\) – упадни угао, \(\beta\) – преломни угао, \(u_1, u_2\) – брзине светлости у срединама 1 и 2, \(n_1, n_2\) – апсолутни индекси преламања, \(n_{12}\) – релативни индекс преламања средине 2 у односу на средину 1
Апсолутни индекс преламања средине је однос брзине светлости у вакууму и брзине светлости у тој средини: \(n = \frac{c}{u}\).
Смер преламања:
- Прелазак из оптички ређе у оптички гушћу средину (\(n_1 < n_2\)): зрак се прелама ка нормали (\(\beta < \alpha\)).
- Прелазак из оптички гушће у оптички ређу средину (\(n_1 > n_2\)): зрак се прелама од нормале (\(\beta > \alpha\)).
Светлосни зрак прелази из вакуума (\(n_1 = 1\)) у средину са индексом преламања \(n_2 = \sqrt{2}\). Ако је упадни угао \(\alpha = 45^\circ\), одредити преломни угао \(\beta\).
Применом Снелијусовог закона:
\[ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{n_2}{n_1} \implies \sin \beta = \sin \alpha \cdot \frac{n_1}{n_2} \]
\[ \sin \beta = \sin 45^\circ \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \]
\[ \beta = 30^\circ \]
Преломни угао је \(30^\circ\) (зрак се преломио ка нормали).
Тотална рефлексија је појава потпуног одбијања светлости назад у полазну средину без преласка у другу. Може настати искључиво када светлост прелази из оптички гушће у оптички ређу средину (\(n_1 > n_2\)).
Гранични угао тоталне рефлексије (\(\alpha_{gr}\)) је онај упадни угао за који је преломни угао једнак \(\beta = 90^\circ\).
\[ \sin \alpha_{gr} = \frac{n_2}{n_1} = n_{12} \]
за прелазак у ваздух/вакуум (\(n_2 \approx 1\)): \(\sin \alpha_{gr} = \frac{1}{n_1}\)
Ако је упадни угао већи од граничног (\(\alpha > \alpha_{gr}\)), нема преламања у другу средину – светлост се у потпуности одбија (тотална рефлексија) по закону одбијања.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Светлосни зрак пада на равну стаклену плочу тако да са њеном површином заклапа угао од \(30^\circ\). Колики је упадни угао, а колики одбојни угао светлости?
Упадни угао се мери у односу на нормалу на површину, а не у односу на саму површину:
\[ \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]
Према закону одбијања:
\[ \alpha' = \alpha = 60^\circ \]
Одговор: Упадни угао је \(60^\circ\), а одбојни угао је \(60^\circ\).
Задатак 2 (средњи): Брзина светлости у одређеној врсти стакла износи \(u = 2 \cdot 10^8\text{ m/s}\). Колики је апсолутни индекс преламања тог стакла и колики је гранични угао тоталне рефлексије на граници тог стакла и ваздуха (\(n_{\text{vazduh}} \approx 1\))? Брзина светлости у вакууму је \(c = 3 \cdot 10^8\text{ m/s}\).
1. Апсолутни индекс преламања стакла:
\[ n_1 = \frac{c}{u} = \frac{3 \cdot 10^8\text{ m/s}}{2 \cdot 10^8\text{ m/s}} = 1{,}5 \]
2. Гранични угао тоталне рефлексије:
\[ \sin \alpha_{gr} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1}{1{,}5} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667 \]
\[ \alpha_{gr} = \arcsin(0{,}667) \approx 41{,}8^\circ \]
Одговор: Индекс преламања стакла је \(1{,}5\), а гранични угао тоталне рефлексије износи приближно \(41{,}8^\circ\).
Задатак 3 (тежи): Светлосни зрак пада из воде (\(n_1 = \frac{4}{3}\)) на граничну површину са ваздухом (\(n_2 = 1\)).
а) Израчунати гранични угао тоталне рефлексије за воду.
б) Шта ће се десити са зраком ако упадни угао износи \(\alpha = 60^\circ\), а шта ако износи \(\alpha = 30^\circ\)? За случај \(\alpha = 30^\circ\) израчунати преломни угао \(\beta\).
а) Израчунати гранични угао тоталне рефлексије за воду.
б) Шта ће се десити са зраком ако упадни угао износи \(\alpha = 60^\circ\), а шта ако износи \(\alpha = 30^\circ\)? За случај \(\alpha = 30^\circ\) израчунати преломни угао \(\beta\).
а) Гранични угао:
\[ \sin \alpha_{gr} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} = 0{,}75 \implies \alpha_{gr} = \arcsin(0{,}75) \approx 48{,}6^\circ \]
б) Анализа за упадне углове:
- За \(\alpha = 60^\circ\): Пошто је \(\alpha > \alpha_{gr}\) (\(60^\circ > 48{,}6^\circ\)), долази до тоталне рефлексије - зрак се у потпуности одбија назад у воду под углом од \(60^\circ\).
- За \(\alpha = 30^\circ\): Пошто је \(\alpha < \alpha_{gr}\) (\(30^\circ < 48{,}6^\circ\)), зрак прелази у ваздух и прелама се од нормале: \[ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{n_2}{n_1} \implies \sin \beta = \sin \alpha \cdot \frac{n_1}{n_2} = \sin 30^\circ \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667 \] \[ \beta = \arcsin(0{,}667) \approx 41{,}8^\circ \]
