Линије Магнетног Поља И Магнетни Флукс

Најважније из лекције

Веза индукције и јачине поља: $\vec{B} = \mu_0 \vec{H}$, где је $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \, \text{Tm/A}$. Јединица за $B$ је $\text{T}$ ($1\,\text{G} = 10^{-4}\,\text{T}$), а за $H$ је $\text{A/m}$.
Линије магнетног поља: Затворене, никад се не секу (вртложно поље). Смер се одређује правилом десне руке / десног завртња.
Индукција проводника:

Праволинијски: $B = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{r}$
Кружна контура (у центру): $B = \frac{\mu_0}{2}\frac{I}{r}$ ($\pi$ пута јаче)
Соленоид: Ствара приближно хомогено поље у унутрашњости; са гвозденим језгром чини електромагнет.

Магнетни флукс: $\Phi = \vec{B} \cdot \vec{S} = B S \cos\theta$ (јединица $\text{Wb} = \text{T}\cdot\text{m}^2$). За затворене површине флукс је увек 0 ($\Phi_{\text{затворено}} = 0$) јер не постоје магнетни монополи.

Јачина магнетног поља ($\vec{H}$) је векторска физичка величина која заједно са магнетном индукцијом ($\vec{B}$) описује магнетно поље.

$\text{A/m}$ (ампер по метру) за јачину магнетног поља $\vec{H}$; $\text{T}$ (тесла) за магнетну индукцију $\vec{B}$.

\[ \vec{B} = \mu_0 \vec{H} \] $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \, \frac{\text{Tm}}{\text{A}}$ - магнетна пропустљивост (пермеабилност) вакуума

За магнетну индукцију се често користи и јединица гаус ($\text{G}$): \[ 1 \, \text{G} = 10^{-4} \, \text{T} \]

Принцип суперпозиције: Ако поље потиче од више извора, укупна магнетна индукција једнака је векторском збиру индукција појединачних поља: \[ \vec{B} = \sum \vec{B}_i = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 + \dots + \vec{B}_n \]

Линије магнетног поља (линије магнетне индукције) су замишљене криве линије које служе за графичко приказивање магнетног поља.

Правац и смер: Тангента у свакој тачки линије поља поклапа се са правцем вектора $\vec{B}$, а смер линије одређује смер вектора $\vec{B}$.
Интензитет: Број линија поља кроз јединичну нормалну површину сразмеран је интензитету магнетне индукције (гушће линије означавају јаче поље).
Затвореност: Линије магнетног поља су затворене линије (немају ни почетак ни крај) и никада се не секу. Због тога је магнетно поље вртложно поље.

Ван шипкастог магнета линије иду од северног ($\text{N}$) ка јужном ($\text{S}$) полу, а унутар самог магнета се затварају идући од јужног ($\text{S}$) ка северном ($\text{N}$) полу.

1. Праволинијски проводник

Линије магнетног поља око праволинијског проводника су концентричне кружнице у равни нормалној на проводник.

Правило десне руке: Ако се проводник обухвати десном шаком тако да палац показује смер струје ($I$), савијени прсти показују смер линија магнетног поља ($\vec{B}$).

\[ B = \frac{\mu_0}{2\pi} \cdot \frac{I}{r} \] $I$ - јачина струје кроз проводник; $r$ - најкраће растојање од проводника до посматране тачке

2. Кружни проводник (струјна контура)

Правило десног завртња: Када се десни завртањ постављен у центар нормално на раван контуре обрће у смеру струје, смер његовог напредовања показује смер магнетне индукције.

\[ B = \frac{\mu_0}{2} \cdot \frac{I}{r} \] $r$ - полупречник кружне контуре; индукција у центру контуре је $\pi$ пута јача од индукције праволинијског проводника на растојању $r$ за исту јачину струје.

3. Соленоид и електромагнет

Соленоид је проводник у облику завојнице са великим бројем навојака. Магнетно поље унутар дугачког соленоида је хомогено (линије су паралелне и једнако удаљене).

Правило десне руке за соленоид: Десном шаком се обухвати соленоид тако да прсти прате смер струје у навојцима; тада испружени палац показује смер вектора $\vec{B}$ унутар соленоида.

Уношењем гвозденог језгра у соленоид добија се електромагнет, чиме се магнетно поље вишеструко појачава. Електромагнет има магнетна својства само док кроз њега протиче електрична струја (примена: звучници, релеји, кранови за подизање метала, маглев возови).

Магнетни флукс ($\Phi$) је скаларна физичка величина сразмерна укупном броју линија магнетног поља које пролазе кроз одређену површину $S$.

$\text{Wb}$ (вебер); $1 \, \text{Wb} = 1 \, \text{T} \cdot \text{m}^2$ односно $1 \, \text{T} = 1 \, \frac{\text{Wb}}{\text{m}^2}$.

\[ \Phi = \vec{B} \cdot \vec{S} = B \cdot S \cdot \cos\theta = B_n \cdot S \] $\theta$ - угао између вектора магнетне индукције $\vec{B}$ и вектора нормале $\vec{n}$ на површину $S$; $B_n = B \cos\theta$ - пројекција индукције на нормалу

$Геометријски приказ: Равна, правоугаона површина `S` представљена у 3D перспективи. Из центра површине `S` полази вектор нормале `$\vec{n}$`, усмерен вертикално нагоре. Из исте тачке полази и вектор магнетне индукције `$\vec{B}$`, формирајући угао `$\theta$` у односу на `$\vec{n}$`. Угао `$\theta$` је јасно означен између `$\vec{n}$` и `$\vec{B}$`. Пројекција вектора `$\vec{B}$` на правац нормале `$\vec{n}$` приказана је као сегмент дуж `$\vec{n}$` који полази из центра `S`, са натписом `$B_n = B \cos\theta$`. Испрекидана линија повезује врх вектора `$\vec{B}$` са вектором `$\vec{n}$` под правим углом, формирајући правоугли троугао који илуструје пројекцију.$

Линије поља нормалне на површ: $\theta = 0^\circ \implies \cos 0^\circ = 1 \implies \Phi_{\text{max}} = B \cdot S$
Линије поља паралелне површи (леже у њој): $\theta = 90^\circ \implies \cos 90^\circ = 0 \implies \Phi = 0$

Гаусова теорема за магнетно поље: Укупан магнетни флукс кроз било коју затворену површину једнак је нули: \[ \Phi_{\text{затворено}} = 0 \] Ово је последица чињенице да су линије магнетног поља затворене и да не постоје изоловани магнетни полови (магнетни монополи).

Задаци за вежбање

Задатак 1 (лак): Израчунати магнетну индукцију на растојању $r = 0{,}1 \, \text{m}$ од праволинијског проводника кроз који протиче струја јачине $I = 5 \, \text{A}$. Узети да је $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \, \frac{\text{Tm}}{\text{A}}$.

Примењујемо формулу за праволинијски проводник: \[ B = \frac{\mu_0}{2\pi} \cdot \frac{I}{r} \] \[ B = \frac{4\pi \cdot 10^{-7}}{2\pi} \cdot \frac{5}{0{,}1} = 2 \cdot 10^{-7} \cdot 50 = 10^{-5} \, \text{T} = 10 \, \mu\text{T} \] Одговор: Магнетна индукција износи $10^{-5} \, \text{T}$ (или $0{,}1 \, \text{G}$).

Задатак 2 (средњи): Раван жичани рам површине $S = 40 \, \text{cm}^2$ налази се у хомогеном магнетном пољу индукције $B = 0{,}5 \, \text{T}$. Израчунати магнетни флукс кроз рам ако вектор магнетне индукције са нормалом на раван рама гради угао од $60^\circ$.

Претварамо површину у основне јединице: \[ S = 40 \, \text{cm}^2 = 40 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2 = 4 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^2 \] Примењујемо формулу за магнетни флукс: \[ \Phi = B \cdot S \cdot \cos\theta \] Пошто је $\cos 60^\circ = 0{,}5$: \[ \Phi = 0{,}5 \cdot (4 \cdot 10^{-3}) \cdot 0{,}5 = 10^{-3} \, \text{Wb} = 1 \, \text{mWb} \] Одговор: Магнетни флукс износи $1 \, \text{mWb}$.

Задатак 3 (средњи): Кружна контура полупречника $r = 2 \, \text{cm}$ и бесконачно дуг праволинијски проводник налазе се у истој равни и кроз оба протиче струја једнаке јачине $I = 4 \, \text{A}$. За колико је пута већа магнетна индукција у центру кружне контуре од магнетне индукције праволинијског проводника на растојању $r = 2 \, \text{cm}$?

Формула за кружну контуру у центру: \[ B_k = \frac{\mu_0}{2} \frac{I}{r} \] Формула за праволинијски проводник: \[ B_p = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I}{r} \] Рачунамо однос: \[ \frac{B_k}{B_p} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2r}}{\frac{\mu_0 I}{2\pi r}} = \pi \approx 3{,}14 \] Одговор: Магнетна индукција у центру кружне контуре је тачно $\pi$ пута (око $3{,}14$ пута) већа од индукције праволинијског проводника на истом растојању.

Задатак 4 (тежак): Затворена сферна површина налази се у близини соленоида кроз који протиче јака струја. Колики је укупан магнетни флукс кроз ту сферну површину и зашто?

Према Гаусовој теореми за магнетно поље, укупан магнетни флукс кроз било коју затворену површину једнак је нули: \[ \Phi = 0 \, \text{Wb} \] Образложење: Линије магнетног поља су непрекидне затворене петље. Свака линија која уђе у затворену сферну површину мора из ње и да изађе. Ово је директна последица чињенице да у природи не постоје изоловани магнетни монополи (извори или понори линија поља).

1.1.4. Линије Магнетног Поља И Магнетни Флукс