Најважније из лекције
Импеданса и Омов закон: Укупна отпорност је \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\), а Омов закон гласи \(I_{ef} = \frac{U_{ef}}{Z}\). У резонанцији (\(X_L = X_C\)) отпорност је минимална (\(Z = R\)), а струја максимална.
Ефективне вредности: Дефинисане су преко топлотног дејства: \(U_{ef} = \frac{U_0}{\sqrt{2}}\), \(I_{ef} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}\). Њих мере волтметри и амперметри.
Снаге у колу наизменичне струје:
Ефективне вредности: Дефинисане су преко топлотног дејства: \(U_{ef} = \frac{U_0}{\sqrt{2}}\), \(I_{ef} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}\). Њих мере волтметри и амперметри.
Снаге у колу наизменичне струје:
- Активна снага: \(P_{sr} = U_{ef} I_{ef} \cos \varphi\) (у \(\text{W}\)), троши се само на отпорнику \(R\).
- Фактор снаге: \(\cos \varphi = \frac{R}{Z}\).
- Реактивна снага: \(P_r = U_{ef} I_{ef} \sin \varphi\) (у \(\text{VAr}\)).
- Привидна снага: \(P = U_{ef} I_{ef} = \sqrt{P_{sr}^2 + P_r^2}\) (у \(\text{VA}\)).
Импеданса (\(Z\)) је укупна отпорност у колу наизменичне струје која садржи термогени отпорник (\(R\)), калем (\(X_L\)) и кондензатор (\(X_C\)).
\[ Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \]
\(X = X_L - X_C\) представља реактивну отпорност кола.
Омов закон за коло наизменичне струје: Јачина струје у колу сразмерна је напону на крајевима кола, а обрнуто сразмерна импеданси кола:
\[ I_0 = \frac{U_0}{Z} \quad \text{односно} \quad I_{ef} = \frac{U_{ef}}{Z} \]
Фазна разлика \(\varphi\) између струје и напона одређује се из релације:
\[ \text{tg}\,\varphi = \frac{X_L - X_C}{R} \]
Напонска (фазна) резонанција: Наступа када је индуктивна отпорност једнака капацитивној (\(X_L = X_C\)). Тада је реактивна отпорност једнака нули (\(X = 0\)), импеданса има минималну вредност (\(Z = R\)), струја у колу достиже максималну вредност, а напон и струја су у фази (\(\varphi = 0\)).
Ефективна вредност јачине наизменичне струје једнака је јачини оне сталне једносмерне струје која би у истом отпорнику за исто време ослободила једнаку количину топлоте као и посматрана наизменична струја.
Веза између максималних (амплитудних) и ефективних вредности:
\[ I_{ef} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}, \quad U_{ef} = \frac{U_0}{\sqrt{2}}, \quad E_{ef} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} \]
Мерни инструменти (амперметри и волтметри) у колима наизменичне струје увек мере ефективне вредности.
Ако је напон у градској мрежи \(U_{ef} = 230\text{ V}\), његова максимална (амплитудна) вредност износи:
\[ U_0 = U_{ef} \cdot \sqrt{2} \approx 230\text{ V} \cdot 1{,}414 \approx 325\text{ V} \]
Средња (активна) снага (\(P_{sr}\)) је корисна снага у колу наизменичне струје која се претвара у топлоту или врши користан рад. Топлота се ослобађа искључиво на термогеном отпорнику (\(R\)).
\[ P_{sr} = U_{ef} I_{ef} \cos \varphi = \frac{1}{2} U_0 I_0 \cos \varphi \]
Јединица за средњу (активну) снагу је ват (\(\text{W}\)).
Фактор снаге је косинус фазне разлике (\(\cos \varphi\)) и представља меру искоришћења електричне енергије:
\[ \cos \varphi = \frac{R}{Z} \]
- Када је \(Z = R\) (резонанција), фактор снаге је \(\cos \varphi = 1\), па је пренос активне снаге максималан.
- Ако коло има само реактивну отпорност (\(R = 0\)), фактор снаге је \(\cos \varphi = 0\), те је активна снага једнака нули (\(P_{sr} = 0\)).
Привидна снага (\(P\)) је производ ефективног напона и ефективне јачине струје:
\[ P = U_{ef} I_{ef} \]
Јединица за привидну снагу је волтампер (\(\text{VA}\)).
Реактивна снага (\(P_r\)) представља део енергије који непрекидно осцилује између извора и магнетног/електричног поља калема и кондензатора:
\[ P_r = U_{ef} I_{ef} \sin \varphi \]
Јединица за реактивну снагу је вар (\(\text{VAr}\)).
Веза између привидне, активне и реактивне снаге дата је релацијом:
\[ P = \sqrt{P_{sr}^2 + P_r^2} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Амплитудна вредност наизменичног напона износи \(U_0 = 141{,}4\text{ V}\). Израчунати ефективну вредност напона \(U_{ef}\) (узети да је \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\)).
Применом формуле за ефективни напон:
\[ U_{ef} = \frac{U_0}{\sqrt{2}} = \frac{141{,}4\text{ V}}{1{,}414} = 100\text{ V} \]
Одговор: Ефективна вредност напона је \(100\text{ V}\).
Задатак 2 (средњи): У редном RLC колу термогена отпорност је \(R = 40\,\Omega\), индуктивна отпорност \(X_L = 70\,\Omega\), а капацитивна отпорност \(X_C = 40\,\Omega\). Колико износе импеданса кола \(Z\) и фактор снаге \(\cos \varphi\)?
1. Рачунамо импедансу:
\[ Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{40^2 + (70 - 40)^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\,\Omega \]
2. Рачунамо фактор снаге:
\[ \cos \varphi = \frac{R}{Z} = \frac{40\,\Omega}{50\,\Omega} = 0{,}8 \]
Одговор: Импеданса кола је \(50\,\Omega\), а фактор снаге износи \(0{,}8\).
Задатак 3 (средњи): На крајеве кола прикључен је напон ефективне вредности \(U_{ef} = 220\text{ V}\), при чему у колу тече струја ефективне вредности \(I_{ef} = 2\text{ A}\). Ако је фактор снаге \(\cos \varphi = 0{,}5\), израчунати привидну и средњу активну снагу у колу.
1. Привидна снага:
\[ P = U_{ef} \cdot I_{ef} = 220\text{ V} \cdot 2\text{ A} = 440\text{ VA} \]
2. Средња (активна) снага:
\[ P_{sr} = U_{ef} \cdot I_{ef} \cdot \cos \varphi = 440\text{ VA} \cdot 0{,}5 = 220\text{ W} \]
Одговор: Привидна снага је \(440\text{ VA}\), а активна снага је \(220\text{ W}\).
Задатак 4 (тежак): Потрошач прикључен на наизменични напон \(U_{ef} = 200\text{ V}\) троши активну снагу \(P_{sr} = 800\text{ W}\) при фактору снаге \(\cos \varphi = 0{,}8\). Израчунати ефективну јачину струје \(I_{ef}\), привидну снагу \(P\) и реактивну снагу \(P_r\).
1. Из формуле за активну снагу \(P_{sr} = U_{ef} I_{ef} \cos \varphi\) налазимо \(I_{ef}\):
\[ I_{ef} = \frac{P_{sr}}{U_{ef} \cos \varphi} = \frac{800}{200 \cdot 0{,}8} = \frac{800}{160} = 5\text{ A} \]
2. Привидна снага:
\[ P = U_{ef} \cdot I_{ef} = 200\text{ V} \cdot 5\text{ A} = 1000\text{ VA} \]
3. За реактивну снагу одређујемо \(\sin \varphi = \sqrt{1 - \cos^2 \varphi} = \sqrt{1 - 0{,}8^2} = 0{,}6\):
\[ P_r = U_{ef} I_{ef} \sin \varphi = 1000\text{ VA} \cdot 0{,}6 = 600\text{ VAr} \]
(Провера: \(\sqrt{800^2 + 600^2} = \sqrt{640000 + 360000} = \sqrt{1000000} = 1000\text{ VA}\))
Одговор: Јачина струје је \(5\text{ A}\), привидна снага \(1000\text{ VA}\), а реактивна снага \(600\text{ VAr}\).
Одговор: Јачина струје је \(5\text{ A}\), привидна снага \(1000\text{ VA}\), а реактивна снага \(600\text{ VAr}\).
