Најважније из лекције
Брзина таласа: Зависна од еластичних и инерцијалних особина средине. На жици \( u = \sqrt{F/\mu} \), у чврстом телу \( u = \sqrt{E_y/\rho} \).
Једначина равног таласа: \( y(x, t) = A \cos(\omega t \mp kx) \), где знак минус означава ширење у смеру \( +x \), а плус у смеру \( -x \).
Угаони таласни број: \( k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{u} \).
Сферни таласи: Фронт је сферног облика, једначина је \( y = \frac{A}{r} \sin(\omega t - kr) \), а амплитуда опада обрнуто сразмерно растојању \( r \).
Енергија таласа: У запремини \( \Delta V \) дата је са \( E = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2 \Delta V \) и сразмерна је квадрату фреквенције и квадрату амплитуде.
Једначина равног таласа: \( y(x, t) = A \cos(\omega t \mp kx) \), где знак минус означава ширење у смеру \( +x \), а плус у смеру \( -x \).
Угаони таласни број: \( k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{u} \).
Сферни таласи: Фронт је сферног облика, једначина је \( y = \frac{A}{r} \sin(\omega t - kr) \), а амплитуда опада обрнуто сразмерно растојању \( r \).
Енергија таласа: У запремини \( \Delta V \) дата је са \( E = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2 \Delta V \) и сразмерна је квадрату фреквенције и квадрату амплитуде.
Фазна брзина (\( u \)) је брзина којом се таласни поремећај (одређена фаза таласа) простире кроз еластичну средину: \( u = \frac{\Delta x}{\Delta t} \).
Треба разликовати фазну брзину таласа (\( u \)) од брзине осциловања делића средине око равнотежног положаја (\( v = \frac{\Delta y}{\Delta t} \)). Делићи средине не путују са таласом, већ само осцилују око својих равнотежних положаја.
Брзина трансверзалног таласа дуж затегнуте жице:
\[ u = \sqrt{\frac{F}{\mu}} \]
\( F \) – сила затезања жице, \( \mu = \frac{m}{l} \) – подужна маса жице (маса по јединици дужине).
Брзина лонгитудиналног таласа у чврстој средини:
\[ u = \sqrt{\frac{E_y}{\rho}} \]
\( E_y \) – Јангов модул еластичности средине, \( \rho \) – густина средине.
Како ће се променити брзина простирања трансверзалног таласа дуж затегнуте жице ако се сила затезања повећа 4 пута?
Према формули \( u = \sqrt{\frac{F}{\mu}} \), брзина је сразмерна квадратном корену силе затезања.
\[ u_2 = \sqrt{\frac{4F}{\mu}} = 2\sqrt{\frac{F}{\mu}} = 2u_1 \]
Одговор: Брзина таласа ће се повећати 2 пута.
Таласно кретање описује зависност елонгације \( y \) од положаја честице \( x \) и времена \( t \): \( y = f(x, t) \).
Угаони таласни број (\( k \)) представља број таласних дужина садржаних у \( 2\pi\text{ m} \):
\[ k = \frac{2\pi}{\lambda} \]
Јединица за угаони таласни број је радијан по метру (\( \text{rad/m} \) или \( \text{m}^{-1} \)).
Једначина равног хармонијског таласа који се простире дуж позитивног смера \( x \)-осе:
\[ y(x, t) = A \cos(\omega t - kx) = A \cos\left[\omega\left(t - \frac{x}{u}\right)\right] \]
Ако се талас простире у супротном смеру (улево):
\[ y(x, t) = A \cos(\omega t + kx) \]
\( A \) – амплитуда, \( \omega \) – кружна фреквенција (\( \omega = \frac{2\pi}{T} \)), \( (\omega t \mp kx) \) – фаза таласа.
Таласна дужина (\( \lambda \)) је растојање између два суседна брега, две суседне доље или било које две тачке чија је фазна разлика осциловања једнака \( 2\pi \). Повезана је са брзином и периодом: \( \lambda = u T = \frac{u}{\nu} \).
Зраци таласа су праве или криве линије дуж којих се преноси таласни поремећај.
Таласни фронт је скуп свих тачака средине које у датом тренутку осцилују у истој фази.
| Врста таласа | Зраци таласа | Облик таласног фронта | Карактеристика амплитуде |
|---|---|---|---|
| Равни таласи | Међусобно паралелни | Равна површина (или права у 2D) | Константна: \( A = \text{const} \) |
| Сферни таласи | Шире се радијално из тачкастог извора | Сфера (или кружница у 2D) | Опада са растојањем: \( A(r) \sim \frac{1}{r} \) |
Једначина сферног таласа на растојању \( r \) од тачкастог извора:
\[ y(r, t) = \frac{A}{r} \sin(\omega t - kr) \]
Код сферних таласа амплитуда опада са удаљавањем (\( \frac{A}{r} \)) јер се почетна енергија извора расподељује на сферни фронт све веће површине.
Механички талас представља процес преношења механичке енергије кроз средину без трајног преноса саме супстанције.
Укупна механичка енергија једног осцилатора масе \( m \) једнака је збиру кинетичке и потенцијалне енергије:
\[ E = \frac{m \omega^2 A^2}{2} \]
Енергија таласног поремећаја у делићу средине запремине \( \Delta V \) и густине \( \rho \):
\[ E = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2 \Delta V \]
\( \rho \) – густина средине, \( \omega \) – кружна фреквенција, \( A \) – амплитуда осциловања.
Енергија коју талас преноси пропорционална је квадрату фреквенције (\( \omega^2 \)) и квадрату амплитуде (\( A^2 \)).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Таласна дужина механичког таласа износи \( \lambda = 0{,}5\text{ m} \). Израчунати угаони таласни број \( k \).
Угаони таласни број је:
\[ k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}5\text{ m}} = 4\pi\text{ rad/m} \approx 12{,}57\text{ m}^{-1} \]
Одговор: Угаони таласни број је \( 4\pi\text{ rad/m} \) (односно \( 12{,}57\text{ m}^{-1} \)).
Задатак 2 (средњи): Жица за гитару дужине \( l = 0{,}8\text{ m} \) и масе \( m = 4\text{ g} \) затегнута је силом од \( F = 50\text{ N} \). Колика је брзина простирања трансверзалног таласа кроз ту жицу?
1. Налазимо подужну масу жице \( \mu \):
\[ m = 4\text{ g} = 4 \cdot 10^{-3}\text{ kg} \]
\[ \mu = \frac{m}{l} = \frac{4 \cdot 10^{-3}\text{ kg}}{0{,}8\text{ m}} = 5 \cdot 10^{-3}\text{ kg/m} \]
2. Израчунавамо брзину простирања:
\[ u = \sqrt{\frac{F}{\mu}} = \sqrt{\frac{50}{5 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{10\,000} = 100\text{ m/s} \]
Одговор: Брзина простирања таласа је \( 100\text{ m/s} \).
Задатак 3 (напредни): Једначина равног механичког таласа у SI јединицама гласи:
\[ y(x, t) = 0{,}02 \cos(40\pi t - 4\pi x) \]
Одредити:
- Амплитуду таласа \( A \);
- Кружну фреквенцију \( \omega \) и фреквенцију \( \nu \);
- Таласну дужину \( \lambda \);
- Брзину простирања таласа \( u \).
Упоређивањем са општим обликом једначине \( y(x, t) = A \cos(\omega t - kx) \):
- Амплитуда: \( A = 0{,}02\text{ m} = 2\text{ cm} \).
- Кружна фреквенција: \( \omega = 40\pi\text{ rad/s} \).
Фреквенција: \( \nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{40\pi}{2\pi} = 20\text{ Hz} \). - Таласна дужина: Из \( k = 4\pi\text{ rad/m} \): \[ \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\text{ m} \]
- Брзина простирања: \[ u = \frac{\omega}{k} = \lambda \cdot \nu = 0{,}5\text{ m} \cdot 20\text{ s}^{-1} = 10\text{ m/s} \]
