Најважније из лекције
Принудне осцилације: Настају под утицајем спољашње периодичне силе \( F = F_0 \cos(\Omega t) \). У устаљеном режиму тело увек осцилује фреквенцијом спољашње силе \( \Omega \).
Резонанција: Појава максималне амплитуде осциловања када је \( \Omega \approx \omega_0 \). Резонантна фреквенција при постојању пригушења износи \( \Omega_{\text{rez}} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2} \).
Спрегнути системи: Пренос енергије и резонанција се остварују између система који имају исте сопствене фреквенције (нпр. клатна истих дужина).
LC коло: Електрични еквивалент механичког осцилатора где се енергија периодично размењује између кондензатора (\( C \)) и калема (\( L \)).
Резонанција: Појава максималне амплитуде осциловања када је \( \Omega \approx \omega_0 \). Резонантна фреквенција при постојању пригушења износи \( \Omega_{\text{rez}} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2} \).
Спрегнути системи: Пренос енергије и резонанција се остварују између система који имају исте сопствене фреквенције (нпр. клатна истих дужина).
LC коло: Електрични еквивалент механичког осцилатора где се енергија периодично размењује између кондензатора (\( C \)) и калема (\( L \)).
Принудно осциловање је осциловање тела које се одвија под дејством спољашње периодичне силе. Ако се та сила мења по синусном или косинусном закону, осциловање је принудно хармонијско.
\[ F = F_0 \cos(\Omega t) \]
\( F_0 \) – амплитуда спољашње силе, \( \Omega \) – кружна учестаност спољашње (принудне) силе
Једначина кретања осцилатора на који делују повратна сила, сила отпора средине и спољашња сила гласи:
\[ ma = -kx - rv + F_0 \cos(\Omega t) \implies a = -\omega_0^2 x - 2\beta v + \frac{F_0}{m} \cos(\Omega t) \]
\( \omega_0 = \sqrt{k/m} \) – сопствена кружна учестаност, \( \beta \) – коефицијент пригушења
После довољно дугог времена, сопствено пригушено осциловање ишчезава, а тело наставља да осцилује искључиво фреквенцијом принудне силе \( \Omega \) (устаљени режим):
\[ x = A \cos(\Omega t + \alpha) \]
где је \( \alpha \) фазни помак у односу на спољашњу силу због инерције и отпора средине.
Резонанција је појава наглог повећања амплитуде принудног осциловања када се кружна учестаност спољашње силе приближи или поклопи са сопственом учестаношћу осцилатора.
Занемарљиво пригушење (\( \beta = 0 \)):
\[ A = \frac{F_0}{m|\omega_0^2 - \Omega^2|} \]
Резонантна кружна учестаност при постојању пригушења (\( \beta > 0 \)):
\[ \Omega_{\text{rez}} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2} \]
Повећана амплитуда настаје акумулацијом рада који врши спољашња сила током сваког периода (нпр. љуљање на љуљашци). Резонанција може бити корисна (акустика, радио-техника), али и штетна (рушење мостова и конструкција услед корачања војника или удара ветра).
Сопствена кружна учестаност математичког клатна зависи искључиво од његове дужине \( l \):
\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} \]
Ако је више клатна различитих дужина повезано преко заједничког затегнутог канапа, покретање једног клатна делује као принудна сила на остала. Резонанција (осциловање са највећом амплитудом) јавиће се само код клатна једнаке дужине, јер су им сопствене фреквенције једнаке.
Електромагнетне осцилације у струјним колима потпуно су аналогне механичким осцилацијама.
LC осцилаторно коло чине везани кондензатор капацитивности \( C \) и калем индуктивности \( L \). Пражњење кондензатора кроз калем доводи до периодичног претварања електричне енергије у магнетну и обрнуто.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): На тело делује спољашња периодична сила \( F = 5 \cos(40\pi t)\,\text{N} \). Колика је кружна учестаност принудних осцилација тела након успостављања стационарног (устаљеног) режима?
У устаљеном режиму, тело осцилује кружном учестаношћу која је једнака кружној учестаности спољашње силе \( \Omega \).
Из израза за силу следи да је \( \Omega = 40\pi\,\text{rad/s} \approx 125{,}66\,\text{rad/s} \).
Из израза за силу следи да је \( \Omega = 40\pi\,\text{rad/s} \approx 125{,}66\,\text{rad/s} \).
Задатак 2 (средњи): Сопствена кружна учестаност механичког осцилатора је \( \omega_0 = 10\,\text{rad/s} \), а коефицијент пригушења износи \( \beta = 3\,\text{s}^{-1} \). Израчунати резонантну кружну учестаност овог осцилатора.
Резонантна кружна учестаност се рачуна по формули:
\[ \Omega_{\text{rez}} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2} \]
Уврштавањем датих вредности:
\[ \Omega_{\text{rez}} = \sqrt{10^2 - 2 \cdot 3^2} = \sqrt{100 - 2 \cdot 9} = \sqrt{100 - 18} = \sqrt{82} \approx 9{,}06\,\text{rad/s} \]
Задатак 3 (средњи): На заједничку сајлу окачена су четири клатна дужина \( l_1 = 20\,\text{cm} \), \( l_2 = 45\,\text{cm} \), \( l_3 = 20\,\text{cm} \) и \( l_4 = 80\,\text{cm} \). Ако изведемо из равнотеже клатно 1, које ће од осталих клатна почети да осцилује са највећом амплитудом и зашто?
Сопствена учестаност математичког клатна зависи само од дужине \( \omega = \sqrt{g/l} \). Да би дошло до појаве резонанције, потребно је да сопствене учестаности буду једнаке, што значи да клатна морају имати исте дужине (\( l_1 = l_3 = 20\,\text{cm} \)).
Одговор: Са највећом амплитудом осциловаће клатно 3 јер се налази у резонанцији са побудним клатном 1.
Одговор: Са највећом амплитудом осциловаће клатно 3 јер се налази у резонанцији са побудним клатном 1.
Задатак 4 (тежак): Маса тела је \( m = 0{,}5\,\text{kg} \), а сопствена кружна учестаност \( \omega_0 = 20\,\text{rad/s} \). Пригушење је занемарљиво. На тело делује периодична сила амплитуде \( F_0 = 6\,\text{N} \) и кружне учестаности \( \Omega = 16\,\text{rad/s} \). Колика је амплитуда принудних осцилација?
Када је коефицијент пригушења занемарљив (\( \beta = 0 \)), формула за амплитуду принудних осцилација је:
\[ A = \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \Omega^2)} \]
Уврштавањем вредности добијамо:
\[ A = \frac{6}{0{,}5 \cdot (20^2 - 16^2)} = \frac{6}{0{,}5 \cdot (400 - 256)} = \frac{6}{0{,}5 \cdot 144} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}\,\text{m} \approx 0{,}0833\,\text{m} = 8{,}33\,\text{cm} \]
