Најважније из лекције
Циклотрон: Уређај за убрзавање честица где наизменично електрично поље у процепу повећава брзину, а магнетно поље у дуантима закривљује путању у спиралу.
Поље покретног наелектрисања: Дато Био-Саваровим законом: \(B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{qv\sin\theta}{r^2}\).
Магнетна интеракција наелектрисања: Магнетна сила \(F = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q_1 q_2 v_1 v_2}{r^2}\sin\theta\) зависи од брзина, наелектрисања, растојања и смера кретања. У општем случају, акција није једнака реакцији (\(\vec{F}_1 \neq -\vec{F}_2\)).
Амперова сила: Резултујућа сила магнетног поља на проводник настала сабирањем појединачних Лоренцових сила на све покретне носиоце наелектрисања (\(F = N \cdot F_L\)).
Поље покретног наелектрисања: Дато Био-Саваровим законом: \(B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{qv\sin\theta}{r^2}\).
Магнетна интеракција наелектрисања: Магнетна сила \(F = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q_1 q_2 v_1 v_2}{r^2}\sin\theta\) зависи од брзина, наелектрисања, растојања и смера кретања. У општем случају, акција није једнака реакцији (\(\vec{F}_1 \neq -\vec{F}_2\)).
Амперова сила: Резултујућа сила магнетног поља на проводник настала сабирањем појединачних Лоренцових сила на све покретне носиоце наелектрисања (\(F = N \cdot F_L\)).
Циклотрон је акцелератор који служи за убрзавање наелектрисаних честица (протона, деутерона, алфа-честица итд.) помоћу комбинације наизменичног електричног поља и хомогеног магнетног поља.
Састоји се од две полукружне шупље металне електроде у облику ћириличног слова Д (тзв. дуанти), постављене у хомогено магнетно поље и повезане на извор високофреквентног наизменичног напона.
1. Извор честица: Јонски извор у центру циклотрона емитује наелектрисану честицу.
2. Убрзавање у процепу: Честица се убрзава електричним пољем у процепу између дуаната.
3. Скретање у дуантима: Унутар дуанта нема електричног поља (\(E = 0\)), већ само магнетно поље чија Лоренцова сила приморава честицу да се креће по кружној путањи.
4. Спирална путања: Сваки пут када честица пређе у процеп, електрично поље мења смер и додатно је убрзава, због чега се полупречник путање повећава и честица се креће по спирали ка периферији где погађа мету.
2. Убрзавање у процепу: Честица се убрзава електричним пољем у процепу између дуаната.
3. Скретање у дуантима: Унутар дуанта нема електричног поља (\(E = 0\)), већ само магнетно поље чија Лоренцова сила приморава честицу да се креће по кружној путањи.
4. Спирална путања: Сваки пут када честица пређе у процеп, електрично поље мења смер и додатно је убрзава, због чега се полупречник путање повећава и честица се креће по спирали ка периферији где погађа мету.
Циклотрони се користе за нуклеарна истраживања (бомбардовање језгара атома и кристала) и у медицини (нпр. терапија тумора протонским снопом).
Наелектрисање у кретању ствара у околном простору магнетно поље. Линије магнетног поља честице која се креће праволинијски сталном брзином су концентричне кружнице чије се равни налазе нормално на правац кретања, а смер се одређује правилом десне руке.
\[ B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{q \cdot v \cdot \sin\theta}{r^2} \]
где је \(q\) количина наелектрисања, \(v\) брзина кретања честице, \(r\) растојање од честице до тачке у којој се одређује поље, \(\theta\) угао између вектора брзине \(\vec{v}\) и вектора положаја \(\vec{r}\), а \(\mu_0\) магнетна пермеабилност вакуума.
Магнетна индукција је једнака нули у тачкама које леже на правцу кретања честице (\(\theta = 0^\circ\) или \(\theta = 180^\circ\)), док је максимална у правцу нормалном на кретање (\(\theta = 90^\circ\)).
Када се два наелектрисања крећу, поред Кулонове електростатичке силе међу њима се јавља и магнетна сила. Прво наелектрисање ствара магнетно поље \(\vec{B}_1\), које затим делује Лоренцовом силом \(\vec{F}_2\) на друго покретно наелектрисање:
\[ \vec{F}_2 = q_2 (\vec{v}_2 \times \vec{B}_1) \]
\[ F_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{q_1 \cdot q_2 \cdot v_1 \cdot v_2}{r^2} \cdot \sin\theta \]
где су \(v_1\) и \(v_2\) брзине честица, а \(\theta\) угао између брзине \(\vec{v}_1\) и радијус-вектора \(\vec{r}\) који спаја честице (уз претпоставку \(\vec{v}_2 \perp \vec{B}_1\)).
За магнетну интеракцију покретних наелектрисања не важи Трећи Њутнов закон у општем случају. Сила \(\vec{F}_1\) којом друго наелектрисање делује на прво зависи од угла \(\theta'\) (угао између \(\vec{v}_2\) и \(\vec{r}\)), па силе \(\vec{F}_1\) и \(\vec{F}_2\) могу имати различите интензитете и правце.
Ако се честица \(q_1\) креће директно ка честици \(q_2\) (\(\theta = 0^\circ\)), она не ствара магнетно поље на месту где се налази \(q_2\), па је \(F_2 = 0\). Међутим, ако се честица \(q_2\) креће под углом \(\theta' = 90^\circ\), она ствара поље на месту где је \(q_1\), па сила \(F_1 \neq 0\).
Амперова сила је сила којом спољашње магнетно поље делује на проводник кроз који протиче електрична струја.
Амперова сила настаје као резултанта свих Лоренцових сила које делују на појединачне слободне носиоце наелектрисања унутар проводника:
\[ F = N \cdot F_L = N \cdot q \cdot v \cdot B = N \cdot q \cdot \frac{L}{t} \cdot B \]
где је \(N\) укупан број покретних наелектрисања, \(L\) дужина проводника, \(t\) време за које честице пређу дужину \(L\), а \(B\) магнетна индукција хомогеног магнетног поља.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Која поља делују на наелектрисану честицу унутар циклотрона: а) унутар дуаната, б) у процепу између дуаната?
Одговор:
а) Унутар дуаната делује само хомогено магнетно поље (електрично поље је једнако нули), које савија путању честице у полукруг.
б) У процепу између дуаната делује високофреквентно наизменично електрично поље, које убрзава честицу и повећава њену кинетичку енергију.
а) Унутар дуаната делује само хомогено магнетно поље (електрично поље је једнако нули), које савија путању честице у полукруг.
б) У процепу између дуаната делује високофреквентно наизменично електрично поље, које убрзава честицу и повећава њену кинетичку енергију.
Задатак 2 (средњи): Наелектрисање \(q_1 = 2\,\mu\text{C}\) креће се брзином \(v_1 = 10^5\,\text{m/s}\). Колика је магнетна индукција \(B_1\) коју ово наелектрисање ствара у тачки која се налази на растојању \(r = 10\,\text{cm}\) под углом од \(\theta = 30^\circ\) у односу на правац његове брзине? (Узети \(\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\,\text{T}\cdot\text{m/A}\)).
Користимо формулу за магнетну индукцију покретног наелектрисања:
\[ B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{q_1 \cdot v_1 \cdot \sin\theta}{r^2} \]
Уврштавањем вредности:
\[ B_1 = 10^{-7} \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 10^5 \cdot \sin 30^\circ}{(0{,}1)^2} \]
Пошто је \(\sin 30^\circ = 0{,}5\) и \((0{,}1)^2 = 10^{-2}\):
\[ B_1 = 10^{-7} \cdot \frac{0{,}2 \cdot 0{,}5}{10^{-2}} = 10^{-7} \cdot \frac{0{,}1}{10^{-2}} = 10^{-7} \cdot 10 = 10^{-6}\,\text{T} = 1\,\mu\text{T} \]
Одговор: Магнетна индукција износи \(1\,\mu\text{T}\).
Задатак 3 (тежак): Два једнака позитивна наелектрисања \(q_1 = q_2 = 4\,\mu\text{C}\) налазе се на међусобном растојању \(r = 2\,\text{cm}\). Прво наелектрисање се креће брзином \(v_1 = 2 \cdot 10^6\,\text{m/s}\) под углом \(\theta = 90^\circ\) у односу на правац који их спаја, док се друго креће брзином \(v_2 = 3 \cdot 10^6\,\text{m/s}\) директно ка првом (\(\theta' = 0^\circ\)). Израчунати интензитете магнетних сила \(F_2\) (сила којом прво делује на друго) и \(F_1\) (сила којом друго делује на прво).
1. Рачунање силе \(F_2\):
\[ F_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{q_1 \cdot q_2 \cdot v_1 \cdot v_2}{r^2} \cdot \sin\theta \]
Пошто је \(\sin 90^\circ = 1\):
\[ F_2 = 10^{-7} \cdot \frac{(4 \cdot 10^{-6}) \cdot (4 \cdot 10^{-6}) \cdot (2 \cdot 10^6) \cdot (3 \cdot 10^6)}{(2 \cdot 10^{-2})^2} \cdot 1 \]
\[ F_2 = 10^{-7} \cdot \frac{16 \cdot 10^{-12} \cdot 6 \cdot 10^{12}}{4 \cdot 10^{-4}} = 10^{-7} \cdot \frac{96}{4 \cdot 10^{-4}} = 10^{-7} \cdot 24 \cdot 10^4 = 2{,}4 \cdot 10^{-2}\,\text{N} = 24\,\text{mN} \]
2. Рачунање силе \(F_1\):
\[ F_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{q_1 \cdot q_2 \cdot v_1 \cdot v_2}{r^2} \cdot \sin\theta' \]
Пошто се друго наелектрисање креће дуж праве која спаја честице (\(\theta' = 0^\circ\)), имамо \(\sin 0^\circ = 0\):
\[ F_1 = 0\,\text{N} \]
Одговор: Интензитет силе којом прво наелектрисање делује на друго је \(F_2 = 24\,\text{mN}\), док је сила којом друго делује на прво \(F_1 = 0\,\text{N}\). Ово јасно показује да за магнетне силе између покретних наелектрисања не важи III Њутнов закон.
