Најважније из лекције
Наизменична струја: Настаје ротацијом проводне контуре у магнетном пољу (\( \varepsilon = E_0 \sin \omega t \)). Мења се синусоидално са периодом \( T = \frac{1}{\nu} \) и кружном фреквенцијом \( \omega = 2\pi\nu \).
Отпорности:
Ефективне вредности и снага: \( I_{\text{ef}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \), \( U_{\text{ef}} = \frac{U_0}{\sqrt{2}} \). Активна снага: \( P_{\text{sr}} = U_{\text{ef}} I_{\text{ef}} \cos \varphi \).
Трансформатор и пренос: \( \frac{U_p}{U_s} = \frac{N_p}{N_s} = \frac{I_s}{I_p} \). Подизањем напона при преносу смањује се јачина струје, чиме се драстично умањују топлотни губици на водовима (\( P_{\text{gub}} = I^2 R \)).
Трофазна струја: Систем од три напона померена за \( 120^\circ \). При везивању у звезду, фазни напон је \( 220\text{ V} \), а међуфазни (линијски) напон \( 380\text{ V} \) (\( U_l = \sqrt{3} U_f \)).
Отпорности:
- Термогена \( R \) – напон и струја су у фази.
- Индуктивна \( X_L = \omega L \) – струја касни за напоном за \( 90^\circ \).
- Капацитивна \( X_C = \frac{1}{\omega C} \) – струја предњачи за \( 90^\circ \).
Ефективне вредности и снага: \( I_{\text{ef}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \), \( U_{\text{ef}} = \frac{U_0}{\sqrt{2}} \). Активна снага: \( P_{\text{sr}} = U_{\text{ef}} I_{\text{ef}} \cos \varphi \).
Трансформатор и пренос: \( \frac{U_p}{U_s} = \frac{N_p}{N_s} = \frac{I_s}{I_p} \). Подизањем напона при преносу смањује се јачина струје, чиме се драстично умањују топлотни губици на водовима (\( P_{\text{gub}} = I^2 R \)).
Трофазна струја: Систем од три напона померена за \( 120^\circ \). При везивању у звезду, фазни напон је \( 220\text{ V} \), а међуфазни (линијски) напон \( 380\text{ V} \) (\( U_l = \sqrt{3} U_f \)).
Генератор је уређај у коме се механичка енергија претвара у електричну енергију путем појаве електромагнетне индукције.
Основни делови генератора су:
- Статор – непокретни део генератора (најчешће магнет или електромагнет који ствара магнетно поље).
- Ротор – покретни део који ротира у магнетном пољу (проводни рам или систем калемова).
- Прстенови и четкице – омогућавају одвођење индуковане струје са ротирајућих делова до спољашњег кола.
Када проводни рам површине \( S \) ротира константном угаоном брзином \( \omega \) у хомогеном магнетном пољу индукције \( B \), у њему се индукује наизменична електромоторна сила (ЕМС) која се мења по синусном закону:
\[ \varepsilon = E_0 \sin \omega t \]
\[ E_0 = N \cdot B \cdot S \cdot \omega \]
\( E_0 \) – максимална (амплитудна) вредност ЕМС [V]
\( N \) – број намотаја рама/калема
\( B \) – магнетна индукција [T]
\( S \) – површина попречног пресека рама [\( \text{m}^2 \)]
\( \omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T} \) – кружна учестаност (угаона брзина) [rad/s]
\( N \) – број намотаја рама/калема
\( B \) – магнетна индукција [T]
\( S \) – површина попречног пресека рама [\( \text{m}^2 \)]
\( \omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T} \) – кружна учестаност (угаона брзина) [rad/s]
У савременим електранама најчешће се користи алтернатор – генератор код кога се обрће извор магнетног поља (ротор је електромагнет), док су радни калемови непокретни (статор).
Наизменична струја је електрична струја која периодично мења свој смер и интензитет.
\[ u = U_0 \sin \omega t \]
\[ i = I_0 \sin (\omega t - \varphi) \]
\( u, i \) – тренутне вредности напона и струје (обележавају се малим словима)
\( U_0, I_0 \) – максималне (амплитудне) вредности напона и струје (обележавају се великим словима)
\( \omega t \) – фаза осциловања
\( \varphi \) – фазна разлика између струје и напона
\( U_0, I_0 \) – максималне (амплитудне) вредности напона и струје (обележавају се великим словима)
\( \omega t \) – фаза осциловања
\( \varphi \) – фазна разлика између струје и напона
Стандардна фреквенција наизменичне мреже у Европи износи \( \nu = 50\text{ Hz} \) (период \( T = 0{,}02\text{ s} \)), што значи да струја промени смер 100 пута у једној секунди.
У колима наизменичне струје постоје три врсте електричне отпорности: термогена, индуктивна и капацитивна.
| Врста отпорности | Формула | Фазна разлика између струје и напона | Омов закон за максималне вредности |
|---|---|---|---|
| Термогена (активна) \( R \) | \( R \) (зависи од материјала и димензија) | Струја и напон су у фази (\( \varphi = 0 \)). | \( I_0 = \frac{U_{0R}}{R} \) |
| Индуктивна \( X_L \) (калем) | \( X_L = \omega L = 2\pi \nu L \) | Струја касни за напоном за \( \frac{\pi}{2} \) (\( 90^\circ \)). | \( I_0 = \frac{U_{0L}}{X_L} \) |
| Капацитивна \( X_C \) (кондензатор) | \( X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi \nu C} \) | Струја предњачи у односу на напон за \( \frac{\pi}{2} \) (\( 90^\circ \)). | \( I_0 = \frac{U_{0C}}{X_C} \) |
Јединица за све три врсте отпорности је ом (\( \Omega \)).
У колу једносмерне струје кондензатор представља прекид кола (не проводи струју), док у колу наизменичне струје омогућава стално протицање струје услед непрекидног пуњења и пражњења својих облога.
Код редног RLC кола, кроз све елементе протиче иста струја, док је тренутни напон извора једнак збиру напона на појединачним елементима: \( u = u_R + u_L + u_C \).
Због постојања фазних разлика, сабирање напона врши се векторски помоћу фазора (ротирајућих вектора чији су интензитети једнаки амплитудним вредностима величина):
\[ U_0 = \sqrt{U_{0R}^2 + (U_{0L} - U_{0C})^2} \]
\[ Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \]
\[ I_0 = \frac{U_0}{Z} \quad \text{односно} \quad I_{\text{ef}} = \frac{U_{\text{ef}}}{Z} \]
\( Z \) – импеданса (укупна отпорност RLC кола) [\( \Omega \)]
\( X = X_L - X_C \) – реактивна отпорност кола [\( \Omega \)]
\( X = X_L - X_C \) – реактивна отпорност кола [\( \Omega \)]
Фазна разлика између струје и напона одређује се из релације:
\[ \text{tg}\,\varphi = \frac{U_{0L} - U_{0C}}{U_{0R}} = \frac{X_L - X_C}{R} \]
Напонска (фазна) резонанција настаје када су индуктивна и капацитивна отпорност једнаке (\( X_L = X_C \)):
\[ \omega_R L = \frac{1}{\omega_R C} \implies \omega_R = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \quad \nu_R = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]
У резонанцији:
- Импеданса има минималну вредност једнаку термогеној отпорности: \( Z = R \).
- Јачина струје достиже максималну могућу вредност: \( I = \frac{U}{R} \).
- Струја и напон су у фази (\( \varphi = 0 \)).
- Напони на калему и кондензатору могу бити вишеструко већи од напона самог извора.
Ефективна вредност наизменичне струје (\( I_{\text{ef}} \)) једнака је јачини оне сталне једносмерне струје која би на истом отпорнику за исто време произвела једнаку количину топлоте.
\[ I_{\text{ef}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707 \cdot I_0 \]
\[ U_{\text{ef}} = \frac{U_0}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707 \cdot U_0 \]
\[ E_{\text{ef}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} \]
Волтметри и амперметри у колу наизменичне струје увек мере ефективне вредности.
Врсте снаге у колу наизменичне струје:
- Активна (средња) снага: Снага која се корисно троши на термогеном отпору (претвара у рад или топлоту): \[ P_{\text{sr}} = U_{\text{ef}} I_{\text{ef}} \cos \varphi = I_{\text{ef}}^2 R \] Мерна јединица је ват (W). Члан \( \cos \varphi = \frac{R}{Z} \) назива се фактор снаге.
- Реактивна снага: Снага која одговара периодичном преносу енергије између извора, магнетног поља калема и електричног поља кондензатора: \[ P_r = U_{\text{ef}} I_{\text{ef}} \sin \varphi \] Мерна јединица је вар (VAr).
- Привидна снага: Максимални капацитет снаге коју извор може да испоручи: \[ S = U_{\text{ef}} I_{\text{ef}} = \sqrt{P_{\text{sr}}^2 + P_r^2} \] Мерна јединица је волт-ампер (VA).
Трансформатор је статички уређај који помоћу електромагнетне индукције трансформише наизменичну струју једног напона у наизменичну струју другог напона исте фреквенције.
Састоји се од заједничког феромагнетног језгра и два изолована калема: примара (са \( N_p \) навојака) и секундара (са \( N_s \) навојака).
\[ \frac{U_p}{U_s} = \frac{N_p}{N_s} \]
За идеалан трансформатор (без губитака енергије, где је улазна снага једнака излазној \( U_p I_p = U_s I_s \)):
\[ \frac{U_p}{U_s} = \frac{N_p}{N_s} = \frac{I_s}{I_p} \]
Значај високих напона при преносу енергије:
Џулови топлотни губици на водовима отпорности \( R_v \) сразмерни су квадрату јачине струје: \[ P_{\text{gub}} = I^2 R_v \] Повећањем напона трансформатором \( k \) пута, струја се смањује \( k \) пута, што смањује губитке снаге за \( k^2 \) пута и омогућава коришћење знатно тањих проводника на далеководима.
Џулови топлотни губици на водовима отпорности \( R_v \) сразмерни су квадрату јачине струје: \[ P_{\text{gub}} = I^2 R_v \] Повећањем напона трансформатором \( k \) пута, струја се смањује \( k \) пута, што смањује губитке снаге за \( k^2 \) пута и омогућава коришћење знатно тањих проводника на далеководима.
Трофазна струја представља систем од три наизменичне струје једнаких амплитуда и фреквенција, које су међусобно фазно померене за угао од \( 120^\circ \) (односно за \( \frac{2\pi}{3}\text{ rad} \) или временски за \( \frac{T}{3} \)).
Спреге калемова трофазног генератора:
- Веза у звезду (\( \text{Y} \)): Крајеви три намотаја спајају се у једну тачку (нулту тачку), одакле полази нулти проводник („нула”), док са осталих крајева полазе фазни проводници (\( R, S, T \)).
- Фазни напон (\( U_f \)): Напон између било које фазе и нултог проводника (\( U_f = 220\text{ V} \)).
- Линијски (међуфазни) напон (\( U_l \)): Напон између две фазе: \[ U_l = \sqrt{3} \cdot U_f \approx 1{,}73 \cdot 220\text{ V} \approx 380\text{ V} \]
- Веза у троугао (\( \Delta \)): Калемови се везују редно у затворену петљу, користе се само 3 проводника, а линијски напон једнак је фазном напону (\( U_l = U_f \)).
Асинхрони (индукциони) мотор: Трофазна струја кроз статорске калемове просторно померене за \( 120^\circ \) производи обртно магнетно поље, које индукује струје у ротору и доводи до његовог обртања нешто мањом брзином од брзине магнетног поља. Овај мотор конструисао је Никола Тесла.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак ниво): Ефективни напон градске мреже у домаћинству износи \( 230\text{ V} \). Колика је максимална (амплитудна) вредност овог напона?
Полазимо од везе између максималне и ефективне вредности напона:
\[ U_{\text{ef}} = \frac{U_0}{\sqrt{2}} \implies U_0 = U_{\text{ef}} \cdot \sqrt{2} \]
\[ U_0 = 230\text{ V} \cdot 1{,}4142 \approx 325{,}27\text{ V} \]
Одговор: Максимална вредност напона износи приближно \( 325{,}3\text{ V} \).
Задатак 2 (Средњи ниво): У колу наизменичне струје фреквенције \( \nu = 50\text{ Hz} \) редно су повезани отпорник отпорности \( R = 30\ \Omega \) и калем индуктивности \( L = 0{,}127\text{ H} \). Коло је прикључено на напон ефективне вредности \( U_{\text{ef}} = 100\text{ V} \). Израчунај:
а) индуктивну отпорност калема,
б) укупну импедансу кола,
в) активну снагу која се троши у колу.
а) индуктивну отпорност калема,
б) укупну импедансу кола,
в) активну снагу која се троши у колу.
а) Индуктивна отпорност:
\[ X_L = 2\pi \nu L = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 50\text{ Hz} \cdot 0{,}127\text{ H} \approx 40\ \Omega \]
б) Импеданса кола (пошто нема кондензатора, \( X_C = 0 \)):
\[ Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\ \Omega \]
в) Активна снага:
Ефективна јачина струје: \[ I_{\text{ef}} = \frac{U_{\text{ef}}}{Z} = \frac{100\text{ V}}{50\ \Omega} = 2\text{ A} \] Фактор снаге: \[ \cos \varphi = \frac{R}{Z} = \frac{30}{50} = 0{,}6 \] Активна снага: \[ P_{\text{sr}} = U_{\text{ef}} I_{\text{ef}} \cos \varphi = 100\text{ V} \cdot 2\text{ A} \cdot 0{,}6 = 120\text{ W} \] (Или директно преко Џуловог закона: \( P_{\text{sr}} = I_{\text{ef}}^2 R = 2^2 \cdot 30 = 120\text{ W} \))
Ефективна јачина струје: \[ I_{\text{ef}} = \frac{U_{\text{ef}}}{Z} = \frac{100\text{ V}}{50\ \Omega} = 2\text{ A} \] Фактор снаге: \[ \cos \varphi = \frac{R}{Z} = \frac{30}{50} = 0{,}6 \] Активна снага: \[ P_{\text{sr}} = U_{\text{ef}} I_{\text{ef}} \cos \varphi = 100\text{ V} \cdot 2\text{ A} \cdot 0{,}6 = 120\text{ W} \] (Или директно преко Џуловог закона: \( P_{\text{sr}} = I_{\text{ef}}^2 R = 2^2 \cdot 30 = 120\text{ W} \))
Задатак 3 (Тежи ниво): Идеалан трансформатор има примар са \( N_p = 1000 \) навојака и секундар са \( N_s = 50 \) навојака. Примар је прикључен на наизменични напон \( U_p = 220\text{ V} \), а на секундар је везан потрошач отпорности \( R_p = 5{,}5\ \Omega \). Одреди:
а) напон на секундару \( U_s \),
б) струју кроз секундарни намотај \( I_s \),
в) струју у примарном колу \( I_p \).
а) напон на секундару \( U_s \),
б) струју кроз секундарни намотај \( I_s \),
в) струју у примарном колу \( I_p \).
а) Напон на секундару:
\[ \frac{U_p}{U_s} = \frac{N_p}{N_s} \implies U_s = U_p \cdot \frac{N_s}{N_p} = 220\text{ V} \cdot \frac{50}{1000} = 11\text{ V} \]
б) Јачина струје кроз секундарни намотај:
\[ I_s = \frac{U_s}{R_p} = \frac{11\text{ V}}{5{,}5\ \Omega} = 2\text{ A} \]
в) Јачина струје у примару:
Користећи једначину струја идеалног трансформатора (\( U_p I_p = U_s I_s \)): \[ \frac{I_s}{I_p} = \frac{N_p}{N_s} \implies I_p = I_s \cdot \frac{N_s}{N_p} = 2\text{ A} \cdot \frac{50}{1000} = 0{,}1\text{ A} \] Одговор: Напон секундара је \( 11\text{ V} \), струја секундара је \( 2\text{ A} \), а струја примара \( 0{,}1\text{ A} \).
Користећи једначину струја идеалног трансформатора (\( U_p I_p = U_s I_s \)): \[ \frac{I_s}{I_p} = \frac{N_p}{N_s} \implies I_p = I_s \cdot \frac{N_s}{N_p} = 2\text{ A} \cdot \frac{50}{1000} = 0{,}1\text{ A} \] Одговор: Напон секундара је \( 11\text{ V} \), струја секундара је \( 2\text{ A} \), а струја примара \( 0{,}1\text{ A} \).
